Αφηρημένο

Ιστορικό

Ο Καρκίνος Stem Cell (CSC), η υπόθεση έχει κερδίσει αξιοπιστία μέσα η έρευνα για τον καρκίνο κοινότητα. Σύμφωνα με αυτή την υπόθεση, ένα μικρό υποπληθυσμό των κυττάρων εντός καρκινικών ιστών εκθέματα βλαστικών κυττάρων που μοιάζουν με τα χαρακτηριστικά και είναι υπεύθυνη για τη συντήρηση και τον πολλαπλασιασμό του καρκίνου.

Μεθοδολογίες /Κύρια Ευρήματα

Σας παρουσιάζουμε μια απλό διαμερισματική ψευδο-χημικές μαθηματικό μοντέλο για την ανάπτυξη του όγκου, βασίζεται στην υπόθεση CSC, και προκύπτει με χρήση μιας προσέγγισης «χημική αντίδραση». Ορίσαμε τρεις κυττάρων υποπληθυσμούς: ΚΕΠ, διαμετακόμιση προγονικά κύτταρα και διαφοροποιημένα κύτταρα. Κάθε γεγονός που σχετίζεται με την κυτταρική διαίρεση, διαφοροποίηση, ή θάνατο στη συνέχεια διαμορφώνεται ως μια χημική αντίδραση. Η προκύπτουσα σύνολο των συνήθων διαφορικών εξισώσεων αριθμητικά ενσωματωθεί για να περιγράψει τη χρονική εξέλιξη του κάθε κυττάρου υποπληθυσμό και τη συνολική ανάπτυξη του όγκου. Ο χώρος παράμετρος εξερευνήθηκε για τον εντοπισμό τους συνδυασμούς των τιμών των παραμέτρων που παράγουν βιολογικά εφικτή και συνεπή σενάρια.

Συμπεράσματα /Σημασία

Ορισμένες κινητική σχέσεις προφανώς πρέπει να πληρούνται για τη διατήρηση της ανάπτυξης των στερεών όγκων και να διατηρήσει μια κατά προσέγγιση σταθερό κλάσμα του ΚΕΠ στον όγκο μικρότερο από 0,01 (ως πειραματικά παρατηρούμενες): (α) το ποσοστό των συμμετρικές και ασύμμετρες ανανέωση CSC πρέπει να είναι στην ίδια τάξη μεγέθους? (Β) ο πραγματικός ρυθμός ανανέωσης και διαφοροποίησης των προγονικών κυττάρων πρέπει να μισή τάξη μεγέθους μεγαλύτερη από ό, τι τα αντίστοιχα ενδογενή ποσοστά για τον καρκίνο βλαστικά κύτταρα? (Γ) τα ποσοστά απόπτωσης του CSC, ενισχύοντας τη διαμετακόμιση προγονικά κύτταρα (Ρ), και τελικά διαφοροποιημένα κύτταρα (D) πρέπει να είναι προοδευτικά υψηλότερα κατά περίπου μία τάξη μεγέθους. Τα αποτελέσματα της προσομοίωσης ήταν σύμφωνα με τις εκθέσεις που έχουν δείξει ότι η ενθάρρυνση της CSC διαφοροποίηση θα μπορούσε να είναι μια αποτελεσματική θεραπευτική στρατηγική για την καταπολέμηση του καρκίνου εκτός από την επιλεκτική θανάτωση ή αναστολή της συμμετρικής κατανομής των ΚΕΠ

Παράθεση:. Μολίνα-Peña R, Álvarez ΜΜ (2012) Ένα απλό μαθηματικό μοντέλο βάση την καρκινικά βλαστικά Υπόθεση κυττάρων προτείνει Κινητική Ομοιότητες στην ανάπτυξη στερεού όγκου. PLoS ONE 7 (2): e26233. doi: 10.1371 /journal.pone.0026233

Επιμέλεια: Pranela Rameshwar, Πανεπιστήμιο Ιατρικής και Οδοντιατρικής του Νιου Τζέρσεϊ, Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής

Ελήφθη: 6 Ιουνίου 2011? Αποδεκτές: 22η Σεπτεμβρίου του 2011? Δημοσιεύθηκε: 17, Φεβρουαρίου, 2012

Copyright: © 2012 Molina-Peña, Álvarez. Αυτό είναι ένα άρθρο ανοικτής πρόσβασης διανέμεται υπό τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Attribution, το οποίο επιτρέπει απεριόριστη χρήση, τη διανομή και την αναπαραγωγή σε οποιοδήποτε μέσο, ​​με την προϋπόθεση το αρχικό συγγραφέα και την πηγή πιστώνονται

Χρηματοδότηση:. Οι συγγραφείς αναγνωρίζουν με ευγνωμοσύνη την οικονομική υποστήριξη που παρέχεται από το Tecnológico de Monterrey, μέσω της CAT122 έρευνα καρέκλα, από το Συμβούλιο του Μεξικού για την Επιστήμη και την Τεχνολογία (CONACYT) με τη μορφή ενός υποτροφία για να Rodolfo Molina. Οι χρηματοδότες δεν είχε κανένα ρόλο στο σχεδιασμό της μελέτης, τη συλλογή και ανάλυση των δεδομένων, η απόφαση για τη δημοσίευση, ή την προετοιμασία του χειρογράφου

Αντικρουόμενα συμφέροντα:.. Οι συγγραφείς έχουν δηλώσει ότι δεν υπάρχουν ανταγωνιστικά συμφέροντα

Εισαγωγή

βασικής και εφαρμοσμένης κλινικής έρευνας για τον καρκίνο θα μπορούσαν να ωφεληθούν σημαντικά από μαθηματικά μοντέλα που συμβάλλουν στην βασική κατανόηση της ασθένειας αυτής, στο σχεδιασμό πιο αποτελεσματικών θεραπευτικών στρατηγικών, ή στην παραγωγή ακριβή πρόγνωση του ασθενούς. Αυτή η εργασία παρουσιάζει μια γενική, απλή, και ευέλικτο μαθηματικό μοντέλο, μηχανιστικά με βάση την Cancer Stem Cell (CSC) υπόθεση, που είναι σε θέση να αναπαράγει τη δυναμική που παρατηρήθηκε κατά τη διάρκεια της εκθετικής ανάπτυξης ενός όγκου.

Πρόσφατα, η CSC υπόθεση έχει κερδίσει αξιοπιστία μέσα στην έρευνα για τον καρκίνο κοινότητα [1] – [5]. Στην απλούστερη εκδοχή της, η υπόθεση αυτή αξιώνει ότι οι περισσότεροι όγκοι (αν όχι όλοι) προκύπτουν από διαδοχικές γενετικές αλλαγές σε ένα μικρό υποπληθυσμό κυττάρων που έχουν εγγενή χαρακτηριστικά παρόμοια με εκείνα των φυσιολογικών αρχέγονων κυττάρων (SCs) [6] – [9]. Μια γρήγορη αυξανόμενο σώμα των πειραματικών στοιχεία δείχνουν ότι αυτές οι λεγόμενες καρκινικά βλαστικά κύτταρα (ΚΕΠ) είναι οι οδηγοί του καρκίνου και είναι υπεύθυνοι για τη βιώσιμη ανάπτυξη του όγκου. Αν και δεν υπάρχει γενική συναίνεση έχει επιτευχθεί ακόμα σε διάφορες βασικές πτυχές της βιολογίας των ΚΕΠ, υπάρχει συμφωνία σε ορισμένα από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους: (α) τις δυνατότητες αυτο-ανανέωση, (β) δυνατότητες για διαφοροποίηση στις διάφορες κυτταρικές υποτύπους του αρχικού καρκίνο, και (γ) αυξημένη ογκογένεση [9] – [14]

Πολλοί ερευνητές έχουν αναφέρει την ύπαρξη της CSC υποπληθυσμών σε συμπαγείς όγκους [15] – [25].. έχουν ΚΕΠ έχει αναφερθεί ότι είναι πιο ανθεκτικά στις κανονικές θεραπείες του καρκίνου από ότι είναι διαφοροποιημένα κύτταρα όγκου (κύτταρα χύδην όγκου) [18], [19], [22], [25], [26]. Ως εκ τούτου, ΚΕΠ σωστά και επιλεκτική στόχευση θα μπορούσε να είναι μία από τις κύριες γραμμές της επίθεσης σε ένα νέο κύμα των θεραπευτικών στρατηγικών κατά του καρκίνου [5], [22], [27] – [29].

Αν και η ανάπτυξη του όγκου υπήρξε αντικείμενο εντατικής μαθηματική μοντελοποίηση των δύο τελευταίων δεκαετιών, η έννοια της ύπαρξης ενός πληθυσμού CSC εντός όγκων έχει μόλις πρόσφατα συμπεριληφθεί ως στοιχείο στην περιγραφή της ανάπτυξης του όγκου [30] – [45]. Μεταξύ αυτών των παραδειγμάτων, έχουν διαφορετικές προσεγγίσεις μοντελοποίησης έχουν χρησιμοποιηθεί, που κυμαίνονται από στοχαστικές [35], [42], [45] για να αιτιοκρατικό μοντελοποίηση [37], [41]. μοντελοποίηση CSC-καρκίνος έχει συχνά επικεντρωθεί στην εξερεύνηση των θεραπευτικών στρατηγικών [36], [37], [41], [43]. Για παράδειγμα, Dingli και Michor [36] που χρησιμοποιείται μαθηματικών μοντέλων για να αποδειχθεί η σπουδαιότητα της επιλεκτικής στόχευσης των ΚΕΠ για τη βελτίωση της αποτελεσματικότητας των αντικαρκινικών θεραπειών. Ομοίως, Ganguly και Puri [39] διαμορφωθούν ένα μοντέλο για την αξιολόγηση της αποτελεσματικότητας του φαρμάκου χημειοθεραπευτικό στη σύλληψη της ανάπτυξης του όγκου, με βάση τον καρκίνο βλαστικών κυττάρων υπόθεση. Τα αποτελέσματά τους πρότεινε ότι η καλύτερη απάντηση στη χημειοθεραπεία συμβαίνει όταν ένας φαρμακευτικών στόχων ανώμαλη βλαστικά κύτταρα. CSC μαθηματικά μοντέλα που βασίζονται έχουν επίσης χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη της επίδρασης των ειδικών θεραπευτικών μέσων (και συνδυαστική θεραπεία). Πολλές εισηγήσεις έχουν διερευνηθεί διάφορες πτυχές της θεραπείας με imatinib [37], [41], [43]. Μαθηματική μοντελοποίηση έχει επίσης χρησιμοποιηθεί για να κερδίσει την κατανόηση των θεμελιωδών ζητημάτων υποκείμενων CSC βιολογία [31], [32], [40], [42], [44], [45]. Η βιολογία των ΚΕΠ δεν έχει πλήρως διευκρινιστεί και πολλά ερωτήματα παραμένουν άλυτα [16], [45]. Συγκεκριμένα, ορισμένες από αυτές τις αβεβαιότητες σχετίζονται με τη δυναμική της ανάπτυξης του όγκου. Ως παράδειγμα, λίγα είναι γνωστά για την ισορροπία μεταξύ των πολλαπλών και πολύπλοκων κυτταρικών γεγονότων που λαμβάνουν χώρα κατά τα πρώτα στάδια της εξέλιξης του όγκου. Ένας από τους βασικούς στόχους αυτής της εργασίας είναι να προσδιορίσει αν ορισμένα κοινά στοιχεία (ή καθολική χαρακτηριστικά) μπορεί να υπάρχουν σε σχέση με την κινητική της ανάπτυξης όγκων σε πρώιμο στάδιο. Πειραματικά μελέτη της ισορροπίας μεταξύ των διαφόρων κυτταρικών γεγονότων που εμπλέκονται στη διαδικασία της ανάπτυξης του όγκου δεν είναι ένα ασήμαντο θέμα. Μηχανιστικά βάσει μαθηματικών μοντέλων μπορεί να είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την προσομοίωση της δυναμικής έναρξης του καρκίνου και την πρόοδο, την ανταπόκριση σε διαφορετικές θεραπείες, και η εξέλιξη της αντοχής στα φάρμακα [30], καθώς και για την απόκτηση περαιτέρω ουσιαστική κατανόηση των υποκείμενων δυναμική της ανάπτυξης του όγκου .

στην παρούσα χειρόγραφο, παρουσιάζουμε ένα απλό μαθηματικό μοντέλο που έχει σχεδιαστεί για τη μελέτη του ρόλου των ΚΕΠ στην ανάπτυξη του όγκου, με στόχο την κατανόηση των κινητικών σχέσεις μεταξύ των διαφόρων διεργασιών που οδηγούν στην εκθετική αύξηση σε συμπαγείς όγκους και την αξιολόγηση πιθανών θεραπευτικών στρατηγικών για τη θεραπεία του καρκίνου. Επιχειρήσαμε να συλλάβει τα βασικά χαρακτηριστικά της γνωστής βιολογική συμπεριφορά ΚΕΠ σε μια ψευδο-χημικές μοντέλο, όπου η κυτταρική διαίρεση και τον θάνατο των τριών υποτύπων κυττάρων θεωρείται εκπροσωπούνται ως «χημικές αντιδράσεις». Οι εγγενείς ρυθμούς με τους οποίους αυτές οι αντιδράσεις (κυτταρικά γεγονότα ) εμφανίζονται είναι οι παράμετροι του μοντέλου (

k

ι

) και είναι ανάλογη με ταχύτητα αντίδρασης κινητικές σταθερές. Βασίζονται σε μια εξερεύνηση του χώρου των παραμέτρων αυτών των κινητικών σταθερών, αντλούμε συμπεράσματα που σχετίζονται με σχετικά μεγέθη τους. Μερικά συμπεράσματα σχετικά με τη θεμελιώδη βιολογία της ανάπτυξης του όγκου και την αποτελεσματικότητα ορισμένων θεραπευτικών στρατηγικών κατά του καρκίνου συζητείται

Μέθοδοι

Ένα ψευδο-χημικές μοντέλο για την ανάπτυξη του όγκου:. των βασικών βιολογικών εννοιών

οι όγκοι είναι μια ετερογενής μείγμα κυττάρων, μερικά από τα οποία παρουσιάζουν SC-όπως χαρακτηριστικά [14], [16], [17], [34], [46] – [48]. Είναι ίσως πιο ακριβές να πούμε ότι ένας όγκος έχει ένα συνεχές φάσμα κυτταρικών τύπων, που κυμαίνονται από ΚΕΠ σε πιο διαφοροποιημένα κύτταρα. Στις περισσότερες από τις προηγούμενες μελέτες μοντελοποίησης, η πολυπλοκότητα του ιστού του όγκου έχει αντιμετωπιστεί ορίζοντας αρκετές υποπληθυσμούς κυττάρων (τυπικά από δύο έως τέσσερις), που οδηγεί σε μοντέλα διαμέρισμα [31], [32], [37], [40]. Προκειμένου να μειωθεί η πολυπλοκότητα του προκύπτοντος μοντέλου, μόνο τρεις υπότυποι κύτταρα θεωρούνται: ΚΕΠ, ενίσχυση διαμετακόμιση προγονικά κύτταρα (Ρ), και τελικά διαφοροποιημένα κύτταρα (D) (Εικ. 1). Αυτή η υπόθεση είναι σύμφωνη με διάφορες πειραματικές αναφορές που απλοποιούν την ετερογένεια των κυττάρων που βρέθηκαν στον καρκίνο, στην οποία αταξινόμητους τρεις κύριους υποτύπους κυττάρων [23], [48] με κάποιες παραλλαγές σε ονοματολογία? δηλαδή, holoclones, meroclones και paraclones [49] – [51]

(Α) Διαφορετικοί πληθυσμοί κυττάρων που βρίσκονται σε συμπαγείς όγκους.. Για απλότητα, το μοντέλο θεωρεί μόνο τρεις κυτταρικές διαμερίσματα ή στάδια διαφοροποίησης (CSC = Cancer Stem Cells, Ρ = προγονικά κύτταρα, D = τελικά διαφοροποιημένα κύτταρα, και το Μ = νεκρά κύτταρα). Όλες οι πιθανές διαφορετικά στάδια της διαφοροποίησης των προγονικών κυττάρων (Ρ1, Ρ2, κλπ, έχουν συγκεντρωμένων εντός του κυττάρου υποτύπου Π CSC, υποτύπους κύτταρο Ρ, και D υφίστανται κυτταρικό θάνατο μέσω αντιδράσεων R6, R7, και R8 αντίστοιχα. (Β ) γεγονότα κυτταρική διαίρεση εξετάζονται στο μοντέλο: συμμετρική αυτο-ανανέωσης των βλαστικών κυττάρων του καρκίνου (R1)? ασύμμετρη ανανέωση των καρκινικών βλαστοκυττάρων (R2)? συμμετρική διαφοροποίηση των καρκινικών βλαστικών κυττάρων σε προγονικά κύτταρα (R3)? συμμετρική πολλαπλασιασμό των προγονικών κυττάρων ( R4)? και συμμετρική διαφοροποίηση των προγονικών κυττάρων σε πλήρως διαφοροποιημένα κύτταρα (R5)

Η

στο μοντέλο μας, τα γεγονότα που σχετίζονται με την CSC αυτο-ανανέωση, στην ωρίμανση των ΚΕΠ σε P κύτταρα, για την περαιτέρω διαφοροποίηση. κύτταρα D, και σε θάνατο όλων των υποτύπων κυττάρων, εκπροσωπούνται ως «χημικές αντιδράσεις» και προκαλούνται από συγκεκριμένες σταθερές ρυθμού. Αυτές οι αντιδράσεις συμβαίνουν σε ένα σύστημα που δεν έχει περιορισμούς θρεπτικών συστατικών κατά τη διάρκεια της φάσης της εκθετικής ανάπτυξης του όγκου. Αυτή η υπόθεση προϋποθέτει ότι η αγγειογένεση συμβαίνει σε ένα ποσοστό που εξασφαλίζει την προσβασιμότητα των θρεπτικών συστατικών διατηρήσουν σταθερή ανάπτυξη.

Πλαισιωμένο με αυτό τον τρόπο, η χρονική εξέλιξη όλων των κυτταρικών υποπληθυσμών μπορεί να αντιπροσωπεύεται από ένα σύνολο συνήθων διαφορικών εξισώσεων που έχουν μια αναλυτική λύση. Στις παραγράφους που ακολουθούν, έχουμε εισαγάγει καθένα από τα κυτταρικά γεγονότα θεωρούνται για την κατασκευή του μοντέλου, και την εκπροσώπησή τους, με τη μορφή της «χημικές αντιδράσεις.»

Επέκταση της SCS μπορεί να επιτευχθεί μέσω συμμετρική κατανομή [52] , [53], σύμφωνα με την οποία ένα CSC προέρχεται δύο ΚΕΠ: (

R

1) Εναλλακτικά, η CSC μπορεί να υποστεί ασύμμετρη διαίρεση (σύμφωνα με την οποία ένα CSC οδηγεί σε ένα άλλο CSC και μια πιο διαφοροποιημένη προγονικά (Ρ) των κυττάρων). Αυτό P κύτταρο έχει ενδιάμεσες ιδιότητες μεταξύ ΚΕΠ και διαφοροποιημένα κύτταρα (D) [2], [51], [54] – [56]: (

R

2) Τόσο συμμετρικές και ασύμμετρες κυτταρικές διαιρέσεις των ΚΕΠ έχουν πειραματικά τεκμηριώνεται από χρώση των πυρηνικών Oct-4 (ένας δείκτης βλαστικών κυττάρων) [57]. Κανονισμός της αναλογίας μεταξύ συμμετρική και ασύμμετρη διαίρεση θα μπορούσε ενδεχομένως να είναι ζωτικής σημασίας για την ανάπτυξη και εξέλιξη του καρκίνου [44], [52].

ΚΕΠ μπορούν επίσης να διαφοροποιηθούν σε P κύτταρα με συμμετρική κατανομή [44], [58 ]: (

R

3) P κύτταρα μπορούν είτε αυτο-ανανέωση, με μειωμένη ικανότητα σε σύγκριση με το ΚΕΠ, ή μπορούν να διαφοροποιηθούν σε κύτταρα D [21], [31], [59], [60] : (

R

4) (

R

5) κύτταρα D δεν έχουν την ικανότητα να πολλαπλασιάζονται [20], [51], [62], έτσι που αντιστοιχεί κινητική σταθερά τους πρέπει να είναι πολύ μικρές (εδώ θεωρείται αμελητέα). Επιπλέον, όλοι οι κυτταρικές υποτύπους μπορούν να υποβληθούν σε κυτταρικό θάνατο: (

R

6) (

R

7) (

R

8) Για τη δημιουργία του μοντέλου, ακολουθήσαμε μια κλασική στρατηγική που χρησιμοποιείται στη χημική μηχανική αντίδραση για να περιγράψει ένα σύστημα των χημικών αντιδράσεων. Για κάθε κυτταρική εκδήλωση, μια «ταχύτητα αντίδρασης» μπορεί να καθοριστεί διαδοχικά: r

1 =

k

1

CSC? r

2 =

k

2

CSC? r

3 =

k

3

CSC? r

4 =

k

4

P? r

5 =

k

5

P? r

6 =

k

6

CSC? r

7 =

k

7

P? r

8 =

k

8

Δ

Η παραμέληση όλους τους όρους που σχετίζονται με τη μεταφορά των κυττάρων (προς και από τον όγκο), τον ρυθμό συσσώρευσης ενός κυττάρου υποτύπου »

ι

«,

dj /dt

, είναι ισοδύναμη με την καθαρή παραγωγή αυτού του κυττάρου υποτύπου, δίνεται με την προσθήκη όλων των ρυθμών αντίδρασης, όπου εμπλέκεται η κυτταρική υποτύπου (δηλαδή παράγεται ή καταναλώνεται) .

Για παράδειγμα, τα είδη των κυττάρων CSC εμπλέκεται στα κυτταρικά γεγονότα τα R1, R2, R3, και R6. Στην αντίδραση R1, CSC παράγεται σε ποσοστό ίσο με το 2R

1, και καταναλώνεται με ρυθμό r

1. Σε κυτταρικό περίπτωση R2, CSC παράγεται με ρυθμό r

2, και καταναλωθεί στον ίδιο ρυθμό r

2. Σε κυτταρικό συμβάν R3, CSC καταναλώνεται σε ένα ρυθμό r

3 λόγω διαφοροποίηση σε Ρ Ομοίως, σε κυτταρικό συμβάν R6, CSC καταναλώνεται σε ένα ρυθμό r

6 οφείλεται σε κυτταρικό θάνατο.

Η συσσώρευση των ΚΕΠ στο πλαίσιο του συστήματος θα δίνεται από την Εξ. 1: (1) Ομοίως, η συσσώρευση των κυττάρων Ρ και D εντός του συστήματος εκφράζεται ως: (2) και (3) Αυτό το απλό σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων μπορεί να λυθεί αναλυτικά για να ληφθούν οι πληθυσμοί του κάθε κυτταρικό τύπο (CSC , P, D) ανά πάσα στιγμή, με την προϋπόθεση ότι ένα σύνολο αρχικών πληθυσμών κυττάρων προσδιορίζεται (

CSCO

,

Po

και

D

). (4) (5 ) (6) Σε περίπτωση (7) (8) (9) (10) (11) ο συνολικός αριθμός των κυττάρων του όγκου (

N

) θα είναι το άθροισμα των τριών κυτταρικών υποτύπων, υποθέτοντας ότι τα νεκρά κύτταρα είναι απορροφηθεί: (12) το μέγεθος του όγκου μπορεί να υπολογιστεί, δεδομένου ότι η αποτελεσματική συμβολή όγκος ενός σφαιρικού σχήματος των κυττάρων σε ένα σφαιρικό όγκο είναι 4,18 × 10

-6 χιλιοστά

3 /κυττάρων [62], καθώς 🙁 13) η υπόθεση αυτή συνεπάγεται ότι ο όγκος αναπτύσσεται σε σταθερή κυτταρική πυκνότητα, το οποίο θα μπορούσε να είναι εύλογη κατά την εκθετική ανάπτυξη του όγκου, όταν έχουμε δεδομένο ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί μεταφορά θρεπτικών συστατικών, και στενότητα χώρου δεν είναι σημαντικές [63].

αποτελέσματα και Συζήτηση

Σημασία των παραμέτρων και των περιορισμών του μοντέλου

το μοντέλο έχει μία κινητική παράμετρο ανά κυτταρικό γεγονός (ή «αντίδραση»). Μια σύντομη συζήτηση της φυσικής σημασία αυτών των κινητικών σταθερών είναι σχετική εδώ. Σε μία τυπική στοιχειώδη χημική αντίδραση, ο ρυθμός εμφάνισης ενός χημικού είδους είναι ανάλογη με τη συγκέντρωση των αντιδραστηρίων μέσω ενός σταθερά αναλογίας, τον ειδικό ρυθμό της αντίδρασης. Αναλόγως, για την κυτταρική μας σύστημα, ο «ρυθμός της αντίδρασης» κάθε κυτταρική εκδήλωση εξαρτάται τόσο από τον αριθμό των πρόδρομων κυττάρων για το εν λόγω συμβάν και την σταθερά αναλογίας

k

j

που θα πολλαπλασιάσει τον αριθμό αυτό. Για παράδειγμα, ο ρυθμός εξαφάνισης του ΚΕΠ, οφείλεται αποκλειστικά στην εμφάνιση του κυτταρικού γεγονότος R1, είναι το r

1, και διαμεσολαβείται από την κινητική παράμετρος

k

1

. Ως εκ τούτου,

k

1

είναι μια εγγενής σταθερά ταχύτητας της αντίδρασης που δείχνει τη φυσική προδιάθεση ενός κυττάρου, σε αυτή την περίπτωση μια CSC, να διαιρέσει συμμετρικά να προέρχονται δύο ΚΕΠ. Στον ορισμό το μοντέλο μας,

k

ι

δεν είναι ίση με τον ρυθμό ανάπτυξης ενός κυττάρου υποτύπου, αλλά μάλλον ο πραγματικός ρυθμός πολλαπλασιασμού που σχετίζονται με τη συχνότητα με την οποία το συγκεκριμένο κύτταρο υποτύπου χωρίζει γενικά. Για τον υπολογισμό του ποσοστού της συσσώρευσης ενός συγκεκριμένου κυτταρικού είδους (ή καθαρό ρυθμό ανάπτυξης αυτού του είδους), όλους τους όρους όπου αυτό το είδος εμφανίζεται ή θα πρέπει να θεωρείται εξαφανίζεται. Για παράδειγμα, για τη συγκεκριμένη περίπτωση του CSC, το σχετικό ποσοστό της συσσώρευσης περιλαμβάνει r

1, r

3, και r

6 (βλέπε εξίσωση 1).

Kinetic παράμετρο ομαδοποίηση

Το προτεινόμενο κινητικό μοντέλο διαθέτει οκτώ ανεξάρτητες μεταβλητές. Έχουμε απλοποιήσει την ανάλυση του χώρου των παραμέτρων από την ομαδοποίηση των οκτώ κινητικές σταθερές του μοντέλου σε τρεις ομάδες. Ομάδα Ι περιλαμβάνει

k

1

,

k

2

, και

k

3

? κινητικές σταθερές που σχετίζονται με την κυτταρική γεγονότα που σχετίζονται με τον πολλαπλασιασμό και τη διαφοροποίηση CSC. Ομάδα II περιλαμβάνει

k

4

και

k

5

, καθώς μεσολαβούν στις κυτταρικές γεγονότα που σχετίζονται με τον πολλαπλασιασμό ή τη διαφοροποίηση των κυττάρων Ρ. Τέλος,

k

6

,

k

7

και

k

8

συμπεριλήφθηκαν στην ομάδα III, όπως περιγράφουν κυτταρικό θάνατο του καθενός κυττάρου υποτύπου.

Επιπλέον, ορισμένες μαθηματικές σχέσεις μεταξύ των ομάδων παραμέτρων και κινητικές σταθερές ορίστηκαν. Η τιμή του k

1, το σταθερό επιτόκιο για συμμετρική ανανέωσης CSC, ορίστηκε ίση με ένα. Αυτό είναι βολικό, δεδομένου ότι όλα τα υπόλοιπα του

k

ι

τιμές μπορεί τώρα να οριστεί (ή κλίμακα) σε σχέση με το

k

1

. Επιπλέον, είναι χρήσιμο να καθοριστούν αναλογίες μεταξύ των κινητικών παραμέτρων, δηλαδή Φ

2/1, Φ

3/1, Φ

4/1, Φ

5/4, Φ

6/1, Φ

7/1, και Φ

8/1. Για παράδειγμα, Φ

4/1 είναι η αναλογία μεταξύ

k

4

/

k

1

? βιολογικά, αντικατοπτρίζει το σχετικό μέγεθος των εγγενούς κινητική σταθερά που διέπουν συμμετρική κατανομή των προγονικών κυττάρων σε σχέση με εκείνη που σχετίζονται με συμμετρική διαίρεση των καρκινικών βλαστικών κυττάρων. Ομοίως, Φ

5/4 (

k

5

/

k

4

) υποδεικνύει το σχετικό μέγεθος των σταθερών ρυθμού συνδέονται με συμμετρική κατανομή των προγονικών κυττάρων να καθιστούν δύο προγονικά κύτταρα (R4) και συμμετρικά διαίρεση των προγονικών κυττάρων να παράγουν δύο διαφοροποιημένα κύτταρα (R5). Με αυτόν τον τρόπο, ένας φορέας του Φ

i /τιμές j θα καθορίσει ένα πλήρες σύνολο των

k

j

αξίες, και ως εκ τούτου ένα βιολογικό σενάριο για την ανάπτυξη του όγκου. Ενδεικτικά, μία φορά

k

1

έχει οριστεί στην τιμή μονάδας (

k

1

= 1), ο φορέας Φ

i /j = [Φ

2/1, Φ

3/1, Φ

4/1, Φ

5/4, Φ

6/1, Φ

7/1, Φ

8 /1] = [1.0, 0.01, 5.35, 0.8, 0.01, 0.1, 1.0] ορίζει ένα σενάριο όπου

k

1

= 1,

k

2

= 1,0 ,

k

3

= 0.01,

k

4

= 5.35,

k

5

= 4,28,

k

6

= 0.01,

k

7

= 0,1,

k

8

= 1,0.

Παρά το γεγονός ότι,

a priori

, όλα τα

k

ι

τιμές είναι εύλογες, μπορούν να εφαρμοστούν ορισμένοι περιορισμοί βασίζονται σε βιολογικές γνώσεις. Για παράδειγμα, στο παρόν έγγραφο, ο πραγματικός ρυθμός απόπτωσης θεωρήθηκε ότι αυξάνει ως κύτταρα γίνονται σταδιακά πιο διαφοροποιημένη. Κατά συνέπεια, το μεγαλύτερο ποσοστό θανάτου αντιστοιχεί στην πιο διαφοροποιημένου φαινοτύπου (D). Από την άλλη πλευρά, ΚΕΠ έχουν εξαιρετικά χαμηλό αποπτωτικό δείκτη [21], [53], [64] – [66]? Ως εκ τούτου, τα επόμενα περιορισμοί θα επιβάλλεται για όλες τις προσομοιώσεις: (14) Επιπλέον, πειραματικά, ένα ελάχιστο κλάσμα του ΚΕΠ έχει βρεθεί να διατηρηθεί μέσω της εξέλιξης του καρκίνου [20], [61]. Κανονικά, αυτό το κλάσμα είναι μικρότερη από 1% του συνολικού αριθμού των κυττάρων [20], [25], [67]. Ως εκ τούτου, CSC /N & lt? 0.01 και δ [CSC /N] /dt≈0 για όλες τις ώρες. Τέλος, το κλάσμα των κυττάρων Ρ μπορεί να εκτιμηθεί από τα πειράματα στην βιβλιογραφία να είναι περίπου 0.2 [20], [68]. Είναι επίσης γνωστό ότι τα κύτταρα D αποτελούν την πλειονότητα των καρκινικών κυττάρων [7], [20], [37]. Συνεπώς, θέτουμε τις παρακάτω εκφράσεις όπως περιορισμοί: (15) Η βιολογία των ΚΕΠ δεν έχει πλήρως διευκρινιστεί και πολλά ερωτήματα παραμένουν άλυτα [16], [45]. Συγκεκριμένα, ορισμένες από αυτές τις αβεβαιότητες σχετίζονται με τη δυναμική της ανάπτυξης του όγκου. Ως παράδειγμα, λίγα είναι γνωστά για την ισορροπία μεταξύ των πολλαπλών και πολύπλοκων κυτταρικών γεγονότων που λαμβάνουν χώρα κατά τα πρώτα στάδια της εξέλιξης του όγκου. Ένας από τους βασικούς στόχους αυτής της εργασίας είναι να προσδιορίσει αν ορισμένα κοινά στοιχεία (ή καθολική χαρακτηριστικά) μπορεί να υπάρχουν σε σχέση με την κινητική της ανάπτυξης όγκων σε πρώιμο στάδιο. Πειραματικά μελέτη της ισορροπίας μεταξύ των διαφόρων κυτταρικών γεγονότων που εμπλέκονται στη διαδικασία της ανάπτυξης του όγκου δεν είναι ένα ασήμαντο θέμα.

Το απλό μοντέλο που προτείνεται εδώ επιτρέπει τη μελέτη της επίδρασης των μεταβολών στις σχέσεις μεταξύ της εγγενούς κινητικές τιμές του κάθε ένα από τα κυψελοειδή γεγονότων που ορίζονται (από R1 έως R8). Στη συζήτησή μας, δίνουμε ιδιαίτερη σημασία στην πειραματικά τεκμηριωμένο γεγονός ότι το κλάσμα CSC σε έναν όγκο είναι σταθερή κατά τη διάρκεια της εξέλιξης του όγκου, η οποία αποτελεί σαφή ένδειξη του κρίσιμου ρόλου της δεξαμενής CSC στην ανάπτυξη του όγκου [20], [22], [ ,,,0],25], [51]. Ως εκ τούτου, ο περιορισμός δ [CSC /N] /dt≈0 γίνεται κεντρικής σημασίας για τον εντοπισμό βιολογικά συνεπής και εφικτές λύσεις για το μοντέλο.

εφικτές λύσεις μοντέλο

Κατ ‘αρχήν, θα περίμενε κανείς ότι μια τεράστιο αριθμό των συνδυασμών θα καθιστούσε δυναμικών συμπεριφορές που θα ήταν σύμφωνο με τις πειραματικές παρατηρήσεις της εξέλιξης των συμπαγών όγκων. Με βάση την εμπειρία μας, τη δοκιμή του μοντέλου, τα επιβάλλονται περιορισμοί (δηλαδή δ [CSC /N] /dt≈0? P /N≈0.2?

D

/N≈0.8? CSC /Ν & lt? 0.01) ουσιαστικά περιορίζουν ο αριθμός των συνόλων των τιμών των παραμέτρων που οδηγούν σε εφικτές λύσεις.

για παράδειγμα, ας εξετάσουμε τη συγκεκριμένη λύση, που λαμβάνονται όταν ο φορέας Φ

i /j = [Φ

2/1 , Φ

3/1, Φ

4/1, Φ

5/4, Φ

6/1, Φ

7/1, Φ

8/1] = [1,0, 0,01, 5,35, 0,8, 0,01, 0.1,1.0] χρησιμοποιείται. Το σενάριο αυτό αντιστοιχεί σε ένα πεδίο όπου

k

1

= 1,

k

2

= 1,0,

k

3

= 0.01,

k

4

= 5.35,

k

5

= 4,28,

k

6

= 0.01,

k

7

= 0,1,

k

8

= 1,0. Η αντίστοιχη λύση παρουσιάζει εκθετική αύξηση, συνήθως παρατηρείται κατά τη διάρκεια του πρώτου σταδίου της ανάπτυξης του όγκου (Σχήμα 2Α). Μετά από 30 αυθαίρετες μονάδες χρόνου, όλοι οι περιορισμοί είναι ικανοποιημένοι? δηλαδή, δ [CSC /N] /dt≈0? P /N≈0.1875?

D

/N≈0.8106? CSC /N≈0.0018 (Σχήμα 2Β). Πράγματι, ενώ διερευνά εφικτές λύσεις, βρήκαμε την CSC /N

vs.

Χρόνο οικόπεδο να είναι ιδιαίτερα χρήσιμη (βλέπε Εικόνα 2C). Για παράδειγμα, το Σχήμα 2C δείχνει την εξάρτηση της δυναμικής της CSC /N σε σχέση με την τιμή του Φ

4/1. Σε αυτή την επεξηγηματική άσκηση, το υπόλοιπο του Φ

i /τιμές j παραμένουν σταθερά, ενώ Φ

4/1 αυξήθηκε σταδιακά εντός της περιοχής από 5,0 έως 5,7 μονάδες. Μόνο ειδική αξία του Φ

4/1 = 5.35 πληρούσε την προϋπόθεση του d [CSC /N] /dt = 0. Γύρω από τη λύση που ορίζεται από το φορέα Φ

i /j = [1.0, 0.01, 5.35, 0.8, 0.01, 0.1, 1.0] και άλλες λύσεις που επίσης ικανοποιούν δ [CSC /N] /dt = 0? μερικά από αυτά έχουν διαφορετικές /Ν ​​σταθερή κατάσταση αξίες CSC /N, P /N, και Δ. Βρήκαμε αναγνώριση αυτών των προς ενίσχυση με δοκιμή και σφάλμα έρευνες του αποτελέσματος που μικρές διαταραχές σε αυτό το σύνολο Φ

i /τιμές j είχε σχετικά με την ποιότητα των διαλυμάτων. Ο Πίνακας 1 παρουσιάζει τα αποτελέσματα από μία σειρά πειραμάτων προσομοίωσης όπου Φ

i αξίες /j μεταβάλλονταν γύρω εκείνοι που παρήγαγε το διάλυμα που συζητήθηκαν προηγουμένως (Exp 0 στον Πίνακα 1).

(Α) Το υπόδειγμα εκτιμά το χρονική εξέλιξη της κάθε μιας από τις κυτταρικές υποπληθυσμών θεωρείται, πλήρως διαφοροποιημένα κύτταρα (D? μπλε γραμμή)? προγονικά κύτταρα (Ρ? κόκκινη γραμμή)? και καρκινικά βλαστικά κύτταρα (CSC? πράσινη γραμμή). (Β) με τη γραφική αναπαράσταση των κλασμάτων κυττάρων για κάθε κυτταρικού πληθυσμού (D /N? Μπλε γραμμή), (P /N? Κόκκινη γραμμή), και (CSC /N? Πράσινη γραμμή), είναι δυνατή η αναζήτηση για τα εφικτά και βιολογικά συνεπής λύσεις (δηλαδή δ [CSC /N] /dt = 0? C /N & lt? 0,01). (Γ) Μόνο ένα σχετικά μικρό σύνολο των συνδυασμών παραμέτρων οδηγούν σε λύσεις που ικανοποιούν τον περιορισμό δ [CSC /N] /dt = 0. Η λύση που ορίζεται από το φορέα Φ

i /j = [1.0, 0.01, 5.35, 0.8, 0.01, 0.1, 1.0] ικανοποιήσει δ [CSC /N] /dt = 0 μόνο αν όταν η ειδική αξία του Φ

4/1 = 5.35 χρησιμοποιήθηκε (πράσινη γραμμή). Οι τιμές των Φ

4/1 =

k

4

/

k

1

& gt? 3.5 (μοβ και το φως μπλε γραμμή) αιτία δ [CSC /N] /dt & lt? 0? και οι τιμές των Φ

4/1 =

k

4

/

k

1

& lt? 3.5 (κόκκινο και σκούρο μπλε γραμμή) αιτία δ [CSC /N ] /dt & gt?. 0

η

Μερικές λύσεις, αν και ικανοποιεί δ [CSC /N] /dt = 0, διαφέρουν σημαντικά από την άποψη της που απορρέουν κυτταρικά κλάσματα τους σε σταθερή κατάσταση. Για παράδειγμα, το διάλυμα του Εχρ. 7 (Πίνακας 1) είναι ευνοϊκό για μια σταθερή κατάσταση στην οποία τα κυτταρικά κλάσματα CSC /N, P /N και D /N είναι 0,0459, 0,1703 και 0,7836, αντίστοιχα. Στη συγκεκριμένη περίπτωση, η τροποποίηση αποτελούνταν από την αύξηση της αξίας των Φ

5/4 (ή

k

5

/

k

4

) 0,80 – 0,85 . Αυτό συνεπάγεται αύξηση μόνο 6,25% της αξίας της ενδογενούς σταθεράς ρυθμού αντίδρασης της διαφοροποίησης έναντι αυτο-ανανέωση του υποπληθυσμού προγονικών κυττάρων. Δεν είναι διαισθητικά, το κλάσμα των καρκινικών βλαστικών κυττάρων αυξάνει ως αποτέλεσμα, λόγω του τώρα υψηλότερο ποσοστό θνησιμότητας των διαφοροποιημένων κυττάρων που επάγεται από υψηλότερους αριθμούς κυττάρων τους (r

8 =

k

8

[D ] & gt? r

7 =

k

7

[P] & gt?. r

6 =

k

6

[CSC])

Άλλα σύνολα παράγουν διαλύματα με σταθερές καταστάσεις παρόμοιες με εκείνες της υπόθεσης αναφορά μας, αναφέρθηκε προηγουμένως (Φ

i /j = [1,0, 0,01, 5,35, 0,8, 0,01, 0,1, 1,0]? πείραμα 0 στον πίνακα 1 ). Για παράδειγμα, το σύνολο Φ

i /j = [1,5, 0,005, 5,35, 0,8, 0,01, 0,1, 1,0] παράγει επίσης μια λύση που να ικανοποιεί d [CSC /N] /dt = 0, με μια σταθερή κατάσταση που χαρακτηρίζεται από από τα κυτταρικά κλάσματα Ρ /N≈0.1878?

D

/N≈0.8102? CSC /N≈0.0018 (Σχήμα 3Α, Εχρ. 15 στον Πίνακα 1). Βρήκαμε πολλές λύσεις (βλ Exp. 15, 16, και 17 στον Πίνακα 1), με σταθερή κατάσταση αξίες στην περιοχή του Ρ /N≈0.18,

D

/N≈0.81, και CSC /N≈ 0,0018, τροποποιώντας την αξία των δύο από τις παραμέτρους Φ

i /j σε σχέση με τις τιμές του συνόλου αναφοράς (Exp. 0 στον πίνακα 1). Για να γίνει αυτό, έχουμε επιλέξει μετατοπίσεις (ΔΦ

i /j) με αντίθετα αποτελέσματα στη σταθερή κατάσταση P /N ή αξίες CSC /N (σύμφωνα με τη στήλη Νο 10 στον Πίνακα 1). Για παράδειγμα, στο Εχρ. 15, μια αύξηση της τάξης του 50% επί της αξίας των Φ

2/1 αντισταθμίστηκε από την αναλογική μείωση (50%) επί της αξίας Φ

3/1. Αυτό ήταν ένα αναμενόμενο αποτέλεσμα: μια αύξηση του ποσοστού των ασύμμετρων διαφοροποίησης (r

2) πρέπει να εξισορροπηθεί από τη μείωση του ποσοστού των συμμετρικών διαφοροποίησης (r

3). Ομοίως, το αντίθετο δήλωση θα πρέπει να κατέχουν. Μια μείωση της τάξης του 20% στην ενδογενή ρυθμό της ασύμμετρης διαφοροποίηση αντισταθμίστηκε από την αύξηση κατά 20% του ποσοστού των συμμετρικών διαφοροποίησης (Exp. 16 στον Πίνακα 1). Λιγότερο διαισθητικά, στο Πειρ. 17 (βλέπε Εικόνα 3Β), μία αύξηση στην

2/1 αξία Φ αντισταθμίστηκε από τη μείωση στις Φ

4/1. Στην περίπτωση αυτή, μια αύξηση κατά 50% του ποσοστού της ασύμμετρης διαφοροποίησης εξισορροπείται από μια μικρή μείωση (0,5%) στην εγγενή ρυθμό τόσο συμμετρικά πολλαπλασιασμού (r

4) και τη διαφοροποίηση των προγονικών κυττάρων (r

5 ). Σημειώστε ότι τόσο η αξία του

k

4

και

k

5

επηρεάζονται από Φ

4/1, δεδομένου ότι η αξία των Φ

5 /4 αφέθηκε όχι.

στο διερευνηθούν χώρο παράμετρο, μόλις βρεθεί μια εφικτή λύση σταθερή κατάσταση, άλλοι μπορεί να βρεθεί στην περιοχή ενός συγκεκριμένου φορέα Φ

i /j. (Α) λύση για το φορέα Φ

i /j = [1.5, 0.005, 5.35, 0.8, 0.01, 0.1,1.0]. (Β) Λύση για το φορέα Φ

i /j = [1.5, 0.01, 5.325, 0.8, 0.01, 0.1, 1.0].

Η

Κινητική κοινά σημεία κατά τη διάρκεια της εκθετικής αύξησης

Ενώ πολλαπλές σειρές Φ

i /j θα μπορούσε να παράγει αποτελέσματα σύμφωνα με την προτεινόμενη σειρά από περιορισμούς, αυτές οι ομάδες πρέπει να συμμορφώνονται με ορισμένα γενικά χαρακτηριστικά. Για παράδειγμα, όπως απεικονίζεται προηγουμένως, οι παράμετροι Φ

2/1 και Φ

3/1 (και, κατά συνέπεια,

k

2

και

k

3

) σχετίζονται αντίστροφα. Για να διατηρήσετε το συνολικό κλάσμα του καρκίνου βλαστικών κυττάρων CSC /Ν σταθερή με την πάροδο του χρόνου, μια αύξηση στην αξία του

k

2

πρέπει να εξισορροπείται από μια ανάλογη μείωση στο

k

3

και

αντίστροφα

.

Αυτή η παρατήρηση υποδηλώνει μια λεπτή σχόλια βιοχημικό έλεγχο, και όχι κατ ‘ανάγκη μια σταθερή αναλογία

k

2

/

k

3

. Το αποτέλεσμα αυτό είναι σχετικό, δεδομένου ότι το πειραματικό προσδιορισμό της σχετικής πιθανότητας εμφάνισης συμμετρική και ασύμμετρη διαίρεση CSC είναι δύσκολη. Η πρόταση ότι η ρύθμιση της αναλογίας μεταξύ συμμετρική και ασύμμετρη κατανομή μπορεί να είναι ζωτικής σημασίας για την ανάπτυξη και εξέλιξη του καρκίνου εμφανίζεται κατ ‘επανάληψη στη βιβλιογραφία [33], [46], [52], [54], [55]. Για παράδειγμα, Boman et al. [31], χρησιμοποιώντας ένα διαμερισματικό μοντέλο, κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο μόνος μηχανισμός που μπορεί να εξηγήσει πώς CSC υποπληθυσμών μπορεί να αυξηθεί εκθετικά κατά τη διάρκεια του παχέος ανάπτυξης καρκίνου περιλαμβάνει την αύξηση συμμετρική διαίρεση SC κυττάρων. Το εύρημα αυτό υποδηλώνει ότι συστηματικές θεραπείες για την αποτελεσματική θεραπεία των καρκίνων πρέπει να δράσει για τον έλεγχο ή την εξάλειψη διαίρεση SC συμμετρική καρκίνου σε όγκους, ενώ ελάχιστα επηρεάζει την κανονική διαίρεση SC σε μη καρκινικούς ιστούς. Από την άποψη αυτή, Turner et al. [45] έχουν καταλήξει στο συμπέρασμα ότι η σταθερά συμμετρικούς ρυθμούς διαίρεσης είναι το κλειδί στο να υπαγορεύει τη σύνθεση των όγκων του εγκεφάλου. Τα αποτελέσματά τους πρότεινε επίσης τη σημασία της ανάπτυξης νέων θεραπευτικών στρατηγικών που στοχεύουν ειδικά τον υποπληθυσμό CSC στους όγκους του εγκεφάλου.

Άλλα κινητική σχέσεις φαίνεται να είναι πιο αυστηρές. Τα αποτελέσματά μας δείχνουν ότι η αναλογία

k

4

/

k

1

πρέπει να διατηρείται σε μια πολύ στενή ζώνη, προκειμένου να διατηρηθεί η εκθετική αύξηση του όγκου με σταθερή CSC /N , P /N, και D /N κλάσματα. Για παράδειγμα, στο μοντέλο μας, για την περίπτωση που CSC /N≈0.0018, P /N≈0.18, και Δ /N≈0.81, η αναλογία

k

4

/

k

1

πρέπει να διατηρείται σε ≈5.35. Παραλλαγές του λιγότερο από 2.5% γύρω από αυτή την τιμή πρέπει να αντισταθμιστεί, για παράδειγμα, με σημαντικές τροποποιήσεις στην τιμή του

k

2

(ή πιο γενικά δηλώνεται Φ

2/1? Βλέπε Εικόνα 4Α ) ή εναλλακτικά,

k

3

(ή πιο γενικά δηλώνεται Φ

3/1?. Σχήμα 4Β)

Ορισμένα γραμμικές σχέσεις μεταξύ CSC αυτο-ανανέωση και διαφοροποίηση κινητικών παραμέτρων επιτρέπουν την ταυτοποίηση των οικογενειών των εφικτών λύσεων: (α) Με την αύξηση Φ

2/1, ενώ αναλογικά μειώνεται Φ

4/1 μια οικογένεια εφικτό μοντέλο λύσεις μπορούν να βρεθούν. Ομοίως, (Β) Φ

3/1 και Φ

4/1 έχουν γραμμική σχέση.

Η

Παρατηρήσαμε παρόμοιες καταστάσεις για σταθερές καταστάσεις (δ [CSC /N] /dt = 0) που ορίζεται από διαφορετικά CSC /N, P /N, και D /N κλάσματα. Kang et al.