Αφηρημένο

Η συμμετοχή του Καρκίνου βλαστικά κύτταρα (ΚΕΠ) στην πρόοδο του όγκου και της υποτροπής του όγκου είναι ένα από τα πιο σπούδασε θέματα στην τρέχουσα έρευνα για τον καρκίνο. Η υπόθεση CSC αναφέρει ότι τα καρκινικά πληθυσμοί κυττάρων χαρακτηρίζεται από μια ιεραρχική δομή που επηρεάζει την εξέλιξη του καρκίνου. Λόγω της πολύπλοκης δυναμικής που αφορούν ΚΕΠ και των άλλων υποπληθυσμών των καρκινικών κυττάρων, μια ισχυρή θεωρία που εξηγεί τη δράση τους δεν έχει αποδειχθεί ακόμα. Ορισμένες ενδείξεις μπορούν να ληφθούν με συνδυασμό μαθηματικών μοντέλων και πειραματικά δεδομένα για την κατανόηση της δυναμικής όγκου και για την παραγωγή νέων πειραματικών υποθέσεις. Εδώ, σας παρουσιάζουμε ένα μοντέλο που περιγράφει την αρχική φάση της ErbB2

+ μαστικούς εξέλιξης του καρκίνου, η οποία προκύπτει από μια κοινή προσπάθεια χτένισμα μαθηματικών μοντέλων και της βιολογίας του καρκίνου. Το προτεινόμενο μοντέλο αντιπροσωπεύει μια νέα προσέγγιση για τη διερεύνηση της CSC με γνώμονα την ογκογένεση και να αναλυθούν οι σχέσεις μεταξύ κρίσιμα γεγονότα που αφορούν υποπληθυσμών των καρκινικών κυττάρων. Χρησιμοποιώντας

in vivo

και

in vitro

δεδομένων μας συντονισμένοι το μοντέλο να αναπαράγει τις αρχικές δυναμική της ανάπτυξης του καρκίνου, και θα χρησιμοποιηθούν για τη λύση του να χαρακτηρίσει παρατηρούμενη εξέλιξη του καρκίνου σε σχέση με την αμοιβαία CSC και προγονικών κυττάρων παραλλαγή. Το μοντέλο αυτό χρησιμοποιήθηκε επίσης για τη διερεύνηση ποια ένωση λαμβάνει χώρα μεταξύ των κυτταρικών φαινοτύπων, όταν εξετάζονται οι ειδικοί δείκτες κυττάρου. Τέλος, βρήκαμε διάφορες συσχετίσεις μεταξύ των παραμέτρων του μοντέλου η οποία δεν μπορεί να συναχθεί άμεσα από τα διαθέσιμα βιολογικά δεδομένα και αυτές οι εξαρτήσεις χρησιμοποιήθηκαν για να χαρακτηρίσουν τη δυναμική των υποπληθυσμών του καρκίνου κατά τη διάρκεια της αρχικής φάσης της ErbB2

+ μαστικούς εξέλιξη του καρκίνου.

Παράθεση: Fornari C, Beccuti M, Lanzardo S, Conti L, Balbo G, Cavallo F, et al. (2014) μια μαθηματική-Βιολογική κοινή προσπάθεια για την Έρευνα της ογκογενή ικανότητα των καρκινικών βλαστικών κυττάρων. PLoS ONE 9 (9): e106193. doi: 10.1371 /journal.pone.0106193

Επιμέλεια: Anita Β Hjelmeland, Cleveland Clinic, Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής

Ελήφθη: 12 του Μαρτίου του 2014? Αποδεκτές: 29 Ιούλη 2014? Δημοσιεύθηκε: 3 Σεπτεμβρίου 2014

Copyright: © 2014 Fornari et al. Αυτό είναι ένα άρθρο ανοικτής πρόσβασης διανέμεται υπό τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Attribution, το οποίο επιτρέπει απεριόριστη χρήση, τη διανομή και την αναπαραγωγή σε οποιοδήποτε μέσο, ​​με την προϋπόθεση το αρχικό συγγραφέα και την πηγή πιστώνονται

Χρηματοδότηση:. Αυτό το έργο υποστηρίχθηκε εν μέρει από τις ακόλουθες ενισχύσεις: η ιταλική ένωση για την Έρευνα του Καρκίνου (IG 11675) για την ΣΤ Cavallo? Fondazione Ricerca Molinette Onlus, το Πανεπιστήμιο του Τορίνο? η Compagnia di San Paolo (Progetti di Ricerca Ateneo /CSP)? η Epigenomics εμβληματικό έργο EPIGEN? MIUR-CNR και από επιχορήγηση του έργου Nr. 15.10.1432 /HICI από το βασιλιά Abdulaziz University της Σαουδικής Αραβίας. Επιπλέον, L.C. υποστηρίζεται από το Ίδρυμα Veronesi ροζ είναι καλή επιχορήγηση. Οι χρηματοδότες δεν είχε κανένα ρόλο στο σχεδιασμό της μελέτης, τη συλλογή και ανάλυση των δεδομένων, η απόφαση για τη δημοσίευση, ή την προετοιμασία του χειρογράφου

Αντικρουόμενα συμφέροντα:.. Οι συγγραφείς έχουν δηλώσει ότι δεν υπάρχουν ανταγωνιστικά συμφέροντα

Εισαγωγή

υπάρχουν αυξανόμενες αποδείξεις για να υποστηρίξει τη θεωρία ότι η εξέλιξη πολλών ανθρώπινων όγκων ελέγχεται από ένα κυτταρικό ιεραρχία στην οποία καρκινικά βλαστικά κύτταρα (ΚΕΠ) αποτελούν τον πυρήνα της μάζας του όγκου. Αυτή η ιεραρχική οργάνωση είναι λόγω των ιδιοτήτων CSC, όπως η ισχυρή ογκογόνο ικανότητα, αυτο-ανανέωση και διαφοροποίηση σε μη βλαστικών κυττάρων [1]. Συγκεκριμένα, ΚΕΠ μπορούν να πολλαπλασιαστούν είτε συμμετρικά ή ασύμμετρα. Στην πρώτη περίπτωση οι δύο θυγατρικά κύτταρα με χαρακτηριστικά CSC που δημιουργείται στην τελευταία ένα μια πολυδύναμων προγονικών κυττάρων (PC) και ένα CSC-σαν κόρη κυττάρων παράγονται. Υπολογιστές πολλαπλασιάζονται προκαλώντας θυγατρικά κύτταρα τα οποία είναι πιο διαφοροποιημένη και προικισμένο με χαμηλότερο πολλαπλασιαστικές δυνατότητες από τη μητέρα τους κύτταρα. Ως εκ τούτου, αυτός ο μηχανισμός οδηγεί σε ετερογενή υποπληθυσμών καρκίνος χαρακτηρίζεται από υψηλό βαθμό διαφοροποίησης και απώλεια της ικανότητας πολλαπλασιασμού [2]. Η βιολογία CSC έχει μελετηθεί εκτεταμένα τα τελευταία χρόνια [3] – [6], αλλά δεν έχει ακόμη πλήρως κατανοητή. Πολλά κρίσιμα ζητήματα είναι ακόμη υπό έρευνα, όπως η δυναμική σχέση με την αρχική φάση της ανάπτυξης του όγκου [7]. Σε αυτό το σύνθετο πλαίσιο, πειραματικές μελέτες

per se

μπορεί να είναι ανέφικτη (τόσο από τον προϋπολογισμό και το χρονικό σημείο απόψεων) να διερευνήσει όλους τους πιθανούς συνδυασμούς από τους κρίσιμους παράγοντες που ρυθμίζουν την έναρξη και την ανάπτυξη των όγκων. Ως εκ τούτου, η συνεισφορά των μαθηματικών μοντέλων στη βιολογία του καρκίνου μπορεί να είναι χρήσιμη για να περιορίσει τον αριθμό των πειραμάτων υγρού εργαστηρίου που απαιτούνται για τον έλεγχο υποθέσεων και για τη δημιουργία νέων εικασίες. Πράγματι, η ιδέα στην οποία βασίζεται ο ορισμός και η ανάλυση ενός μοντέλου είναι ο προσδιορισμός των μακρο γεγονότων που χαρακτηρίζουν τα βιολογικά φαινόμενα υπό μελέτη.

Πολλές in-silico μοντέλα που περιγράφουν τη δυναμική των πληθυσμών των καρκινικών κυττάρων έχουν συμβάλει σε μια βελτιωμένη χαρακτηρισμό της εξέλιξης του όγκου . Ειδικότερα, Μολίνα-Pena και Álvarez έχτισε ένα ευέλικτο ντετερμινιστικό μοντέλο που αποδεικνύει ότι υπάρχουν ορισμένα κοινά χαρακτηριστικά κινητική της ανάπτυξης του όγκου μεταξύ των διαφόρων μορφών καρκίνου, σύμφωνα με την υπόθεση CSC [8]. ομάδα Marciniak-Czochra έχει μαθηματικά διερευνηθεί ο ρόλος της CSC συμμετρική πολλαπλασιασμού σε σχέση με τη συντήρηση του όγκου και δημοσιεύονται τα αποτελέσματά τους σε διάφορα έγγραφα [9] – [11]

Με άλλα χαρτιά, η μελέτη της δυναμικής των πληθυσμών κυττάρων in. συγκεκριμένους ιστούς έχει αναφερθεί, τονίζοντας το ρόλο της CSC οργανισμού που βασίζεται στις διαδικασίες ανάπτυξης και αναγέννησης. Johnston

et al.

Χαρακτήρισαν δυναμική του πληθυσμού σε υγιείς κρύπτες, αποδεικνύοντας ότι η αλλαγή οποιαδήποτε από τις βασικές παραμέτρους που μπορεί να κινήσει καρκινογένεσης [12], [13]. μοντέλα διαμέρισμα στη παχέος κρύπτες έχουν επίσης προταθεί από Tomlinson

et al

[14], [15] και από Mirams

et al

, η τελευταία εκ των οποίων διερευνάται το πώς η δυναμική χώρο επιρροές κελί του παχέος εντέρου . κρύπτες [16]

ομάδα Lander μελέτησε τη γενική διαδικασία της ανάπτυξης των ιστών και την αναγέννηση, όπου μπορεί να βρεθεί εντυπωσιακά παραδείγματα αυστηρό έλεγχο της κυτταρικής ανάπτυξης και διαφοροποίησης [17] – [21]. Διερεύνησε επίσης να ελέγχουν τους μηχανισμούς της εξέλιξης του καρκίνου δείχνουν ότι η ανάπτυξη του καρκίνου ελέγχεται από τα χωροχρονικά δυναμική των βασικών διαδικασιών σηματοδότησης, που εκφράζεται ως θετική και αρνητική ανάδραση βρόχους [22].

Τέλος, Michor και οι συνεργάτες του έχουν προτείνει διάφορες μοντέλα που περιγράφουν την έναρξη και την εξέλιξη του όγκου, ξεκινώντας από την κλωνική θεωρία εξέλιξης [23] – [26]. Τα έργα τους συνέβαλαν στο χαρακτηρισμό των θεμελιωδών αρχών που διέπουν τη δυναμική της ενεργοποίησης ογκογονιδίων και αναστολή όγκου-καταστολέα [23].

Ο σκοπός της εργασίας μας είναι να μελετήσουμε την ογκογόνο ικανότητα των ΚΕΠ χρησιμοποιώντας μια ολοκληρωμένη προσέγγιση, όπου μια μαθηματική μοντέλο που περιγράφει την αρχική φάση της εξέλιξης του καρκίνου έχει κατασκευαστεί και βαθμονομηθεί με την αξιοποίηση των δεδομένων που προέρχονται από

in vivo

και

in vitro

πειράματα.

Ακόμα κι αν είναι γνωστό ότι καρκίνο του μαστού αποτελείται από ετερογενή υποπληθυσμών των καρκινικών κυττάρων οργανώνονται σε μια ιεραρχική τρόπο, η δυναμική που ρυθμίζουν τον πολλαπλασιασμό, το θάνατο και τη διαφοροποίηση των ΚΕΠ και των απογόνων είναι δύσκολο να συμπεράνουμε από τα δεδομένα του όγκου του όγκου μόνο. ​​

Εδώ, παρουσιάζουμε μια μελέτη σε ErbB2

+ καρκίνο του μαστού μέσα από την συνεργική ένωση των πειραμάτων υγρού εργαστηρίου και εφαρμόζονται μαθηματικές τεχνικές. Χρησιμοποιούμε θεωρία CSC να καθορίσουν ένα σύστημα Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις (Σ.Δ.Ε.) που περιγράφει την αρχική φάση της εξέλιξης του καρκίνου. Αναφερόμαστε σε αυτό το μοντέλο ως

απαραίτητη

προκειμένου να επικεντρωθεί η προσοχή στις βασικές του, αλλά όχι απλοϊκή μορφή: παρέχει μια αφαίρεση σύστημα το οποίο είναι σχετικά απλή, αλλά εξακολουθεί να είναι σε θέση να συλλάβει τις βασικές πτυχές του καρκίνου του μαστού. Επιπλέον, ποσοτική και ποιοτική ανάλυση του συστήματος αυτού ODE έχει γίνει για να τονίσει τις σχέσεις μεταξύ των συντελεστών πολλαπλασιασμού, το θάνατο και τη διαφοροποίηση η οποία δεν μπορεί να συναχθεί απευθείας από τα βιολογικά πειράματα.

Αυτό το μαθηματικό μοντέλο έχει προκληθεί από διάφορα έγγραφα που περιγράφουν εξέλιξη CSC [2], [27], [28], και από πειραματικές αποδείξεις [29]. Πράγματι, σε [29] έχουμε δείξει στο παρελθόν ότι μαστικού καρκίνοι που προκύπτουν αυθόρμητα σε ποντικούς BALB-neuT – διαγονιδιακά για το ενεργοποιημένο ογκογονίδιο ErbB2 αρουραίου – περιέχουν έναν πληθυσμό ΚΕΠ σε θέση να παράγουν mammospheres

in vitro

, οι οποίες είναι επίσης προικισμένο με τη δυνατότητα να ξεκινήσει όγκους

in vivo

. Στην ίδια εργασία, ανέφεραν επίσης ότι mammospheres που λαμβάνεται από ένα επιθηλιακή κυτταρική γραμμή που προέρχεται από ένα καρκίνωμα BALB-neuT, που ονομάζεται κύτταρα TUBO, εκφράζουν δείκτες που σχετίζονται με CSC φαινότυπο. Επιπλέον, τα κύτταρα TUBO είναι σε θέση να παράγουν αποτελεσματικά όγκους όταν εμφυτευθούν υποδορίως (s.c.) σε συγγενή ποντίκια [30]. Συνοψίζοντας, ξεκινώντας από ένα βασικό περιγραφή της δυναμικής του καρκίνου του μαστού, εμείς βαθμονομημένο μοντέλο μας με την εξέταση αρκετών πειραματικές συνθήκες, και εμείς παρέκταση σχέσεις μεταξύ των κρίσιμων παραμέτρων, ως εκ τούτου συνάγοντας τους κανόνες που ελέγχουν την αρχική εξέλιξη του καρκίνου που παρατηρείται σε ποντικούς. Επιπλέον, χρησιμοποιήσαμε το μοντέλο για τη διερεύνηση της κατανομής των γνωστών δεικτών κυττάρου μεταξύ των διαφόρων πληθυσμών κυττάρων του όγκου, και για το σχεδιασμό νέων βιολογικών πειραμάτων για τον χαρακτηρισμό CSC.

Υλικά και Μέθοδοι

Βιολογικά Πειράματα

κυττάρου και mammosphere πολιτισμούς.

επιθηλιακά κύτταρα TUBO (ο ErbB2

+ κλωνοποιημένη κυτταρική σειρά ιδρύθηκε από ένα καρκίνωμα του μαστού που προκύπτουν σε ένα BALB-neuT θηλυκό ποντίκι [31], [32]) καλλιεργήθηκαν σε ϋΜΕΜ συμπληρωμένο με 20% FBS. Για τη δημιουργία μη προσκολλημένα σφαιρικά συσσωματώματα κυττάρων (mammospheres), κύτταρα TUBO αποκολλήθηκαν και τοποθετήθηκαν σε φιάλες εξαιρετικά χαμηλές προσάρτησης (Sigma-Aldrich) σε 6 × 10

4 βιώσιμα κύτταρα /ml σε mammosphere μέσου. Αυτό το μέσο αποτελείται από DMEM-F12 μέσο άνευ ορού (Invitrogen Corp.) συμπληρωμένο με 20 ng /ml βασικό Αυξητικό Παράγοντα Ινοβλαστών (bFGF), 20 ng /ml επιδερμικού αυξητικού παράγοντα (EGF), 5 microg /ml ινσουλίνη, και 0.4% αλβουμίνη βόειου ορού (BSA) – όλα από την Sigma-Aldrich [30]. Mammospheres ονομάζεται Ρ1 συλλέχθηκαν μετά από 7 ημέρες και αναλύονται χρησιμοποιώντας ενζυματική και μηχανική διάσπαση. P1 που προέρχονται από μονοκύτταρους αναστολές σπάρθηκαν πάλι σε 6 × 10

4 βιώσιμα κύτταρα /ml για τη δημιουργία νέων mammospheres, που ονομάζεται Ρ2. Η διαδικασία επαναλήφθηκε μία τρίτη φορά για να δημιουργήσει Ρ3.

Ποντίκι μοντέλο.

Θηλυκά BALB /c ποντικοί (Charles River Laboratories) διατηρήθηκαν στο μοριακό Biotechnology Center του Πανεπιστημίου του Τορίνο και αντιμετωπίζονται σύμφωνα με την Επιτροπή Δεοντολογίας του Πανεπιστημίου και τις ευρωπαϊκές κατευθυντήριες γραμμές. Όλες τις φωτογραφίες

in vivo πειράματα

εγκρίθηκαν από το Πανεπιστήμιο της επιτροπής δεοντολογίας Τορίνο και το

Υπουργείο Υγείας της Ιταλίας

(Ρώμη, Ιταλία). TUBO (10

3 και 10

5) και Ρ3 (10

3) κύτταρα εμφυτεύθηκαν υποδορίως μέσα στα αριστερά πλευρά των ποντικών BALB /c. Τα ποντίκια θανατώθηκαν σύμφωνα με την ηθική πρωτόκολλο, όταν ο μέσος όρος των δύο κάθετων διαμέτρων υπέρβαση 10 mm. Η ανάπτυξη των όγκων που σχετίζονται με αυτές τις τρεις διαφορετικές αρχικές συνθήκες παρακολουθήθηκε κάθε εβδομάδα και αναφέρονται ως μέση διάμετρος (mm). Ας σημειωθεί ότι οι τρεις αρχικές συνθήκες – από την άποψη των τύπων κυττάρων και συγκεντρώσεις – να οδηγήσει σε τρεις σειρές πειραμάτων που θα αναφέρεται στο υπόλοιπο του παρόντος εγγράφου χρησιμοποιώντας το συμβολισμό

Εχρ1

,

Εχρ2

και

Εχρ3

.

FACS.

Μετά από 7 ημέρες καλλιέργειας, TUBO, P1, P2, P3 και τα κύτταρα συλλέχθηκαν και αναλυτικά χρησιμοποιώντας ενζυματική και μηχανική αποσύνδεση . Στη συνέχεια πλύθηκαν σε PBS (Sigma-Aldrich) συμπληρωμένου με 0,2% BSA και 0,01% αζίδιο του νατρίου (Sigma-Aldrich), και χρωματίστηκαν για αντιγόνα μεμβράνης. Τα ακόλουθα αντισώματα χρησιμοποιήθηκαν: (i) Alexa Fluor647-συζευγμένο αντι-Stem Cell Antigen-1 (Sca-1), (ii) ΡΕ-συζευγμένα αντι-CD44 και ΡΕ /Cy7-συζευγμένο αντι-CD24 (όλα από Biolegend). Όλα τα δείγματα συλλέχθηκαν και αναλύθηκαν χρησιμοποιώντας ένα κυανό ADP κυτταρομετρητή ροής και της Συνόδου Κορυφής 4.3 του λογισμικού (DakoCytomation).

Μαθηματική προσέγγιση

Τα παραπάνω βιολογικά δεδομένα ενσωματώθηκαν σε ένα μαθηματικό πλαίσιο για την αναπαραγωγή του παρατηρούμενη ανάπτυξη του όγκου και να συναγάγει περαιτέρω γνώσεων σχετικά με τις σχέσεις που δημιουργούνται ανάμεσα στα κρίσιμα γεγονότα που αφορούν υποπληθυσμών των καρκινικών κυττάρων. Πιο αναλυτικά, η μαθηματική προσέγγιση μας αποτελείται από τα ακόλουθα κύρια βήματα:

(i) ποσοστά ανάπτυξης του όγκου υπολογίστηκαν με την τοποθέτηση στοιχεία μετρήσεων του όγκου με τη μαλθουσιανή μοντέλο –

μαλθουσιανή μοντέλο ανάπτυξης

εδαφίου?

(ii) τη δυναμική αύξηση του όγκου πωλήσεων και υποπληθυσμό περιγράφονται από ένα σύστημα διαφορικών εξισώσεων που ορίζεται από τις παραδοχές της θεωρίας CSC –

μοντέλο διαμέρισμα του καρκίνου του μαστού

εδαφίου?

(iii) η πρότυπο διάλυμα αναλυτικά αξιολογήθηκαν για τον καθορισμό των χρονικών εξελίξεις του συστήματος και για να βρείτε τις παραμέτρους υπεύθυνο για την εξέλιξη του όγκου –

λύση μοντέλο

εδαφίου?

(iv) μια διαδικασία συσσωμάτωσης διεξήχθη σε παραμέτρους του μοντέλου να καθορίσουν νέες παραμέτρους που αναφέρονται σε ομάδες παρόμοιων κυτταρικών γεγονότων. Αυτή η διαδικασία είχε σαν αποτέλεσμα συσσωμάτωση σε μία πρώτη μείωση του χώρου των παραμέτρων. Μερικές βιολογικές ανάγκες εισήχθησαν για να κάνει το μοντέλο συμφωνεί με πειραματικά δεδομένα και τις ιδιότητες που αναφέρονται στη βιβλιογραφία. Αυτό οδήγησε σε περαιτέρω μείωση του χώρου των παραμέτρων –

Ρυθμίσεις παραμέτρων

εδαφίου?

(v) τον όγκο των δεδομένων ήταν εφοδιασμένο με το προτεινόμενο μοντέλο, από τα οποία επίσης προέρχονται δυναμική κυττάρων υποπληθυσμό. Αυτά τα αποτελέσματα, τα οποία αποδείχθηκε ότι ήταν συνεπής τόσο με την ανάπτυξη του όγκου των δεδομένων και των επιβλήθηκαν ιδιότητες, όπου στη συνέχεια χρησιμοποιείται ως σημείο εκκίνησης για περαιτέρω αναλύσεις σχετικά με τις παραμέτρους του μοντέλου. Συγκεκριμένα, κάποιες κρυφές σχέσεις μεταξύ των κυτταρικών γεγονότων ανακαλύφθηκαν, έτσι ώστε ο ρόλος των ΚΕΠ στην εξέλιξη του καρκίνου ήταν καλύτερη χαρακτηρίζεται –

την τοποθέτηση των δεδομένων

εδαφίου

Οι τεχνικές λεπτομέρειες σχετικά με κάθε ένα από αυτά τα βήματα που αναφέρθηκαν σε. τις ακόλουθες ενότητες και σε συμπληρωματικό υλικό.

μαλθουσιανή μοντέλο ανάπτυξης.

η ανάπτυξη του όγκου μπορεί να περιγραφεί εύκολα με τη βοήθεια του μαλθουσιανή μοντέλο [33] υπό την προϋπόθεση ότι δεν υπάρχουν περιορισμοί μεταφορά θρεπτικών συστατικών και ότι το διάστημα περιορισμοί δεν είναι σημαντικές. Η μαλθουσιανή μοντέλο ανάπτυξης, που ονομάζεται επίσης το μοντέλο εξουσίας δικαίου, περιγράφει μια εκθετική ανάπτυξη με βάση ένα σταθερό ρυθμό μέσα από την εξίσωση: (1) όπου

i

=

Εχρ1

,

Εχρ2

, και

Εχρ3

? δείτε το

μοντέλο ποντίκια

εδαφίου. Σημειώστε ότι αυτή η υπόθεση είναι λογική, δεδομένου ότι η υπόθεση ότι ο όγκος του καρκίνου

V

(

t

) αυξάνει με σταθερό ρυθμό κυτταρικής ανάπτυξης είναι ως επί το πλείστον αποδεκτή κατά την αρχική φάση της εξέλιξής της.

ο καρκίνος του μαστού μοντέλο διαμέρισμα.

Ακόμα κι αν η μαλθουσιανή αναπτυξιακό μοντέλο δίνει μια καλή αντιπροσώπευση της συνολικής ανάπτυξης του όγκου, δεν είναι σε θέση να συλλάβει άμεσα τις σχέσεις μεταξύ των διαφόρων υποπληθυσμών των καρκινικών κυττάρων. Έτσι, για να επισημάνει ποιες είναι οι βασικοί παράγοντες για την εξέλιξη του όγκου, θα εκπροσωπούνται δυναμική υποπληθυσμό κυττάρων χρησιμοποιώντας το ακόλουθο σύστημα γραμμικών εξισώσεων: (2), όπου είναι οι αριθμοί των ΚΕΠ, υπολογιστές

1, Υ

2, TCs , αντίστοιχα.

το σύστημα αυτό έχει σχεδιαστεί λαμβάνοντας έμπνευση από το μοντέλο που αναφέρονται στην εργασία [27] και, στη συνέχεια, την ολοκληρωμένη γνώση σχετικά με τη δυναμική του καρκίνου που προέρχεται από διάφορα έγγραφα, μεταξύ των οποίων [2], [8], [34 ]. Το μοντέλο μας λαμβάνει υπόψη την αυτο-ανανέωση ικανότητα των ΚΕΠ που μπορεί να είναι συμμετρική () ή ασύμμετρη (). Επιπλέον, μια εξέλιξη της ΚΕΠ – που ονομάζεται δέσμευση CSC () – μπορεί να συμβεί από την άποψη της διαφοροποίησης όταν ένας CSC δημιουργεί ένα πολυ-ισχυρός PC. Εξισώσεις (2) μοντέλο δύο στρωμάτων των υποπληθυσμών PC: υπολογιστές

1 και υπολογιστές

2. Η πρώτη χαρακτηρίζεται από πολλαπλασιασμό και τη διαφοροποίηση των δυνατοτήτων που και οι δύο εμπλέκονται στην εξέλιξη των υπολογιστών

2, τα οποία αναπτύσσονται σε μη-πολλαπλασιαστική τελικά διαφοροποιημένα κύτταρα (ΘΚ). Θεωρήσαμε επίσης την de-διαφοροποίηση () του Υ

1 σε ΚΕΠ, όπως περιγράφεται στο [35] και μαθηματικά που χαρακτηρίζεται από το [36]. Τέλος, καρκινικά βλαστικά, τα προγονικά κύτταρα και διαφοροποιημένα κύτταρα που επηρεάζονται από ένα ποσοστό θανάτου () ειδικά για κάθε τύπο κυττάρου.

Το σύστημα των διαφορικών εξισώσεων που αντιπροσωπεύεται από τις εξισώσεις (2), εμπλουτίζεται με το ακόλουθο σύνολο των αρχικών συνθηκών (3 ) αποτελεί ένα πρόβλημα Cauchy που περιγράφει τη χρονική εξέλιξη του καρκίνου του μαστού, με έμφαση σε διαφορετικούς υποπληθυσμούς κυττάρων του.

λύση Μοντέλο.

είναι γνωστό ότι ένα Cauchy πρόβλημα του τύπου αντιπροσώπευε από τις Εξισώσεις (2) και (3) μπορεί να λυθεί αναλυτικά για να ληφθεί το μέγεθος του κάθε κελιού υποπληθυσμό σε οποιοδήποτε χρονικό σημείο [37]. Ειδικότερα, το μοντέλο διάλυμα προέρχεται από το μοντέλο eigensystem η οποία καθορίζει την χρονική εξέλιξη του συστήματος και τη σταθερότητά του, καθώς και [37]. Ειδικότερα, μεταξύ όλων αυτών των ιδιοτιμών, υπάρχει ένα ονομάζεται συνεχής αύξηση () το οποίο καθορίζει το ρυθμό ανάπτυξης του συστήματος? αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα του () καθορίζει την κατεύθυνση της ανάπτυξης του συστήματος.

Για να διερευνήσει το μοντέλο (2) από διαφορετικές οπτικές γωνίες, έχουμε πραγματοποιήσει μια σειρά από ποιοτικές και ποσοτικές αναλύσεις. Τα αποτελέσματα προέρχονται από αυτές τις δύο αναλύσεις είναι συμπληρωματικές, και να συμβάλει προκειμένου να επιτευχθεί παγκόσμια και ολοκληρωμένη κατανόηση του μοντέλου. Περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με το πρότυπο διάλυμα και για το πώς το μοντέλο eigensystem ελέγχει τη συμπεριφορά του συστήματος παρέχονται στις εξισώσεις (Σ.3) του Συμπληρωματικού Υλικού.

Ρυθμίσεις παραμέτρων.

συνυπολογισμό παραμέτρων. Το μοντέλο που περιγράφεται από το σύστημα (2) περιλαμβάνει τέσσερις ανεξάρτητες μεταβλητές, δηλαδή ένα για κάθε κελί υποπληθυσμό, και δέκα παραμέτρους που καθορίζουν τη δυναμική των κυττάρων. Πιο συγκεκριμένα, κάθε παράμετρος περιγράφει ένα συγκεκριμένο κυτταρικό συμβάν (πολλαπλασιασμό, διαφοροποίηση, …) και είναι ανεξάρτητη από τις άλλες. Αυτή η υψηλή

ιδιαιτερότητα

παρέχει μια πλήρη περιγραφή της δυναμικής υποπληθυσμό, αλλά απαιτεί ένα μεγάλο αριθμό παραμέτρων δύσκολο να εκτιμηθεί. Για να αντιμετωπίσουν αυτό, έχουμε ορίσει ένα νέο σύνολο

συγκεντρωτικές παραμέτρους

ομαδοποίηση τις αρχικές κινητικές παραμέτρους ως εξής: (4)

Αυτή η

διαδικασία συγκέντρωσης

παρέχονται νέες παραμέτρους που περιγράφουν η ροή του κάθε κυττάρου υποπληθυσμών στο μοντέλο. Η σημασία αυτών των νέων παραμέτρων μπορεί να εξηγηθεί από το ακόλουθο κείμενο βιολογική ερμηνεία: (i)

μια

εκφράζει παραλλαγή CSC, παραμελώντας τον όρο de-διαφοροποίηση? (Ii)

β

περιγράφει την αύξηση του ποσοστού των υπολογιστών

1? (Iii)

γ

αντιπροσωπεύει την

1 ρυθμός μείωσης PC? (Iv)

δ

είναι η αύξηση του ποσοστού των υπολογιστών

2? και (v)

e

είναι η μείωση του ποσοστού των υπολογιστών

2. Ας σημειωθεί ότι αυτή η συσσωμάτωση ήταν ένα κρίσιμο βήμα της διαδικασίας ανάλυσης για διάφορους λόγους. Μειώθηκε η πολυπλοκότητα του συστήματος ODE μειώνοντας τη διάσταση του χώρου των παραμέτρων, και έκανε εξισώσεις πιο εύκολο να διαχειριστεί. Χρησιμοποιώντας τα συνολικά παραμέτρους (4) στο σύστημα (2), θα μειωθεί ο αριθμός των παραμέτρων που πρέπει να συναχθεί από τα πειραματικά δεδομένα, είναι

μια

,

β

,

γ

,

d

,

e

,,, και οι μόνοι που θα έπρεπε να εκτιμηθεί. Επιπλέον, από τις εξισώσεις (4), είναι σαφές ότι όλα τα συγκεντρωτικά παράμετροι είναι θετικά, εκτός από

μια

, του οποίου η ένδειξη εξαρτάται από την ισορροπία μεταξύ CSC συμμετρική πολλαπλασιασμό, τη διαφοροποίηση και το ποσοστό θανάτου.

Παράμετρος χώρος περιορίζεται από βιολογικές ανάγκες. Για να κάνετε το μοντέλο συμπεριφορά συνάδει με το βιολογικό φαινόμενο υπό διερεύνηση, θα επέβαλε μια σειρά από περιορισμούς σχετικά με τις τιμές των παραμέτρων. Μέρος από αυτά που σχετίζονται με τη βιολογική γνώση σχετικά με την ανάπτυξη του καρκίνου του μαστού, ενώ άλλοι προέρχονται από πειραματικά δεδομένα μας. Από την αξιολόγηση της ανάπτυξης του όγκου σε ποντικούς BALB /c χρησιμοποιήσαμε το μοντέλο μαλθουσιανή ως μία πρώτη προσέγγιση της εξέλιξης του καρκίνου η οποία επέτρεψε την εκτίμηση των πειραματικών ρυθμούς ανάπτυξης (με

i

=

Εχρ1

,

Εχρ2

,

Εχρ3

) από τα διαθέσιμα δεδομένα. Στη συνέχεια, ο ρυθμός ανάπτυξης στο γραμμικό σύστημα ODE ορίστηκε ίση με. Τα προγονικά και τερματικό υποπληθυσμών αντιπροσωπεύουν την πλειοψηφία των καρκινικών κυττάρων [28]? Ωστόσο, το ποσοστό του συνόλου των υποπληθυσμών θα πρέπει να καθορίζεται από το είδος και τον αριθμό των κυττάρων που εγχέονται στους ποντικούς. Από τα πειράματα μας προκύπτει ότι τα κύτταρα Ρ3 είναι πιο εμπλουτισμένο σε ΚΕΠ από τα κύτταρα TUBO. Ειδικότερα, η ανάλυση της Sca-1

+ και CD44

+ /CD24

– κυττάρων αποκάλυψε το ποσό CSC σε κάθε mammospheres περάσματα

Κατά τη διάρκεια της «εκθετική φάση ανάπτυξης» τις αναλογίες. το μέγεθος μεταξύ υποπληθυσμό και ο συνολικός αριθμός των κυττάρων (

N

TOT

) είναι συναρτήσεις του χρόνου που έγινε πρακτικά σταθερή, καθώς η παράμετρος χρόνος μεγαλώνει μεγάλο [38] – [40]. Ως εκ τούτου, επέβαλε τις ακόλουθες προϋποθέσεις σχετικά με τα κλάσματα των κυττάρων υποπληθυσμό: (5) όπου

i

=

Εχρ1

,

Εχρ2

,

Εχρ3

για την αναπαραγωγή κάθε τύπος ένεση κυττάρων. Σημειώστε ότι, γνωρίζοντας την αναλυτική λύση του μοντέλου (2), ανωτέρω προϋποθέσεις (5) μπορούν να εκφραστούν εύκολα με ιδιοδιανύσματα του συστήματος, όπως αναφέρεται στο συμπληρωματικό υλικό – Εξισώσεις (s.7)

Επιτέλους, Τανγκ [. ,,,0],2] περιγράφει την απο-διαφοροποίηση ως ένα σπάνιο γεγονός, δεδομένου ότι συμβαίνει μόνο κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες, το διάστημα μεταβολής της – που ορίζονται κατά τη διαδικασία προσαρμογής των δεδομένων -. επιλέχθηκε μικρότερες από εκείνες των άλλων παραμέτρων

Για να ολοκληρώσω, λαμβάνοντας υπόψη όλα τα προηγούμενα περιορισμών, ο αριθμός των ελεύθερων παραμέτρων μειώθηκε και ο χώρος παράμετρος συρρικνώθηκε τότε και είχαν συναχθεί άμεσα από τα πειραματικά δεδομένα, ενώ η

β

,

γ

,

e

και έπρεπε να υπολογιστεί λαμβάνοντας υπόψη όλες τις πιθανές θετικές τιμές τους

δεδομένα τοποθέτηση

Σύστημα (2) περιγράφει πως ο συνολικός αριθμός των κυττάρων καρκίνου του μαστού -.. και ο αντίστοιχος όγκος του όγκου – αλλάζουν κατά τη διάρκεια του χρόνου. Υποθέτοντας ότι κάθε σφαιρικό κελί δίνει την ίδια συμβολή στη σφαιρική όγκου, δηλώσαμε ότι ένας όγκος αναπτύσσεται αναλογικά με το συνολικό αριθμό

N

ΤΟΤ

των κυττάρων. Αριθμητικά, είχαμε, όπου

k

1 είναι ένα σταθερό όγκο ανάπτυξης, η οποία αντιπροσωπεύει το ποσοστό της ηρεμίας /νεκρά κύτταρα σε καρκινικά, δηλαδή μια νέα παράμετρο.

Η παράμετρος χώρος εξερευνήθηκε χρησιμοποιώντας την πρότυπη τεχνική Ελάχιστη ελαχίστων τετραγώνων (MLS) για να παράγουν την καλύτερη προσαρμογή των δεδομένων για τον καρκίνο του μαστού. Αυτή η μέθοδος αναζητά το συνδυασμό των παραμέτρων που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων. Σημειώστε ότι η MLS αλγόριθμος αναζητά τη βέλτιστη λύση, εντός του χώρου των παραμέτρων, ξεκινώντας από ένα σύνολο σταθερών τιμών. Για να βρείτε την καλύτερη τοποθέτηση των δεδομένων, διατρέχουμε τον τρόπο MLS αρκετές φορές, χρησιμοποιώντας διαφορετικές αρχικές επιλογές παραμέτρων. Αυτές οι αρχικές τιμές ορίστηκαν μέσω της latin τεχνική υπερκύβο δειγματοληψίας [41] χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες κατανομές: (i) unif? (Ii) unif (0, 5). Τα διαστήματα διακύμανσης που έχουν επιλεγεί σύμφωνα με τη βιβλιογραφία και το φάσμα των ορίστηκε μικρότερη από εκείνη των άλλων παραμέτρων, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως. Τέλος, ας επισημάνουμε ότι υπάρχουν διάφοροι τύποι κατανομών που μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας να καθορίσει τα σημεία εκκίνησης της μεθόδου. Η επιλογή αυτή θα πρέπει να εξαρτάται από μια εκ των προτέρων πληροφόρησης, αλλά, όταν δεν υπάρχουν διαθέσιμα στοιχεία, το φυσικό υπόθεση είναι η ομοιόμορφη κατανομή.

Αποτελέσματα

ανάπτυξη του καρκίνου μοντέλο

Το

in vitro

πειράματα που δημιουργούνται τρία χωρία της mammospheres εμπλουτισμένο σε ΚΕΠ ξεκινώντας από ένα και μόνο κυτταρικό εναιώρημα των κυττάρων TUBO. Πιο αναλυτικά, τα επιπλέοντα σφαιρικό mammospheres αναπτυχθεί (Ρ1) μετά από μια κουλτούρα 2 ημέρες και έγινε συμμετρικά έγκλειστα μετά από 7 ημέρες για να σχηματίσει

μπάλα του γκολφ

-όπως δομές που αργότερα πήρε να είναι κούφια στο εσωτερικό γύρω από την τρίτη εβδομάδα και δεν αυξάνεται ή περαιτέρω επέκταση. Αυτά mammospheres P1 διαχωρίστηκαν μετά από μια κουλτούρα 7 ημέρες και διαδίδεται στη δευτεροβάθμια (Ρ2) και τριτογενή περάσματα (P3) σφαίρας. Οι κλώνοι που παράγεται από τα κύτταρα TUBO, P1, P2 και P3 μετρήθηκαν προκειμένου να σταθμίσει το

in vitro

δυναμικό αυτο-ανανέωση των mammospheres. Για τον προσδιορισμό της ογκογόνο δυναμικό του mammospheres σε σχέση με τα κύτταρα TUBO, επιλέξαμε τρεις αρχικές συγκεντρώσεις κυττάρων: 10

5 TUBO, 10

3 TUBO, 10

3 Ρ3 κύτταρα, και εμείς τους εμφυτεύονται υποδόρια σε συγγενή ποντίκια BALB /c. Ένεση 10

3 Ρ3-προερχόμενα κύτταρα δημιούργησαν γρήγορα αναπτυσσόμενους όγκους σε όλους τους ποντικούς, ενώ μια παρόμοια πρόκληση του 10

3 κύτταρα TUBO προκάλεσε όγκους σε 4 από 6 ποντικούς, αλλά μόνο δύο όγκοι έφθασαν ένα 10 mm μέση διάμετρος στα ακόλουθα 100 ημέρες. Αναλυτικά, το ποσοστό του όγκου που παίρνει σε ποντικούς που έχουν εγχυθεί με 10

5 TUBO ή 10

3 Ρ3-προερχόμενα κύτταρα ήταν 100%, ενώ η τιμή αυτή μειώθηκε σε 67% σε ποντικούς που ενέθηκαν με 10

3 κύτταρα TUBO . Ας σημειωθεί ότι για την περαιτέρω ανάλυση που θεωρήσαμε μόνο τα ποντίκια στα οποία ο καρκίνος αυξήθηκε εκθετικά, βλέπε πίνακα S1. Η υψηλότερη τάση να σχηματίζουν τον καρκίνο του μαστού σε 60 ημέρες από 10

5 TUBO κύτταρα και 10

3 Ρ3 σε σχέση με 10

3 κύτταρα TUBO μπορεί να εκτιμηθεί στο Σχήμα 1 (πάνελ Α).

Πίνακας (α): η ικανότητα έναρξης του καρκίνου του 10

5 TUBO κύτταρα (σημεία βιολετί), 10

3 κύτταρα TUBO (πορτοκαλί σημεία) και 10

3 Ρ3-προερχόμενα κύτταρα (μπλε), με ένεση σε ποντίκια. Πίνακας (β): Sca-1

+ και CD44

+ /CD24

– ιστογράμματα αναφοράς τη μέση ± SEM των θετικών κυττάρων, από έξι ανεξάρτητα πειράματα. *

σ

& lt? 0.1, **

σ

& lt? 0,05, Wilcoxon τεστ

Η

Η μαλθουσιανή μοντέλο (1) ήταν ικανός να μετρηθεί στοιχεία της ανάπτυξης του καρκίνου. για τον προσδιορισμό των παραμέτρων ανάπτυξης χύμα () για κάθε σενάριο καρκίνο – δηλαδή 10

3, 10

5 TUBO κύτταρα, και 10

3 Ρ3-προερχόμενα κύτταρα. Επιπλέον, αυτές οι αριθμητικές εκτιμήσεις ρυθμού ανάπτυξης επιβεβαίωσε την πειραματική απόδειξη ότι τα κύτταρα Ρ3 έχουν μεγαλύτερη ογκογόνο δυναμικό από οποιαδήποτε συγκέντρωση των κυττάρων TUBO, όταν εγχέεται σε ποντίκια. Πράγματι, σε 10

3 σενάριο TUBO είναι ίσο με 0,06, σε 10

5 σενάριο TUBO είναι ίσο με 0,07, και σε 10

3 σενάριο Ρ3 είναι ίση με 0,09. Το μοντέλο καμπύλη προσαρμογής που παρέχεται από το μαλθουσιανές μοντέλο αναφέρεται στο σχήμα S1. Όπως έχουμε ήδη παρατηρήσει, ακόμη και αν το μοντέλο αυτό περιγράφει με ακρίβεια την ανάπτυξη του καρκίνου από την άποψη της επέκτασης του όγκου, δεν χαρακτηρίζουν τις σχέσεις μεταξύ των υποπληθυσμών των κυττάρων του καρκίνου.

Εμείς συναχθεί CSC, PC και TC συμπεριφορές μέσω του

απαραίτητη

μοντέλο (2), που περιλαμβάνει τις κατανομές των κυττάρων υποπληθυσμό στη μάζα του όγκου ξεκινώντας από τις παραδοχές της θεωρίας CSC. Στη συνέχεια, συντονισμένοι τις συγκεντρωτικές παραμέτρους με τη χρήση των βιολογικών περιορισμών, που περιγράφεται στο Υλικά και Μέθοδοι, σε συνδυασμό με τις πειραματικές τιμές των όγκων του καρκίνου του μαστού και του ποσοστού των ΚΕΠ που προέρχονται από το ποσοστό των Sca-1

+ και CD44

+ /CD24

– κύτταρα. Μια ανάλυση FACS δεικτών βλαστικών κυττάρων έδειξαν ότι Sca-1 [30] είναι ελάχιστα εκφράζεται σε κύτταρα TUBO ενώ η έκφραση του αυξάνει προοδευτικά από Ρ1 έως Ρ3-προερχόμενα κύτταρα. Ο εμπλουτισμός CSC στις διόδους mammosphere επιβεβαιώθηκε περαιτέρω από την προοδευτική αύξηση των CD44

+ /CD24

-. Κυττάρων που παρατηρείται από TUBO σε P3 mammospheres, όπως αναφέρεται στο σχήμα 1 (πίνακας β)

Για κάθε αρχική κατάσταση, θα πραγματοποιηθεί μια σειρά από MLS τρέχει μεγαλύτερη από 10 και, ανάμεσα στα αποτελέσματα που προκύπτουν από αυτές τις πίστες, έχουμε επιλέξει το

που ταιριάζει καλύτερα

που ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των καταλοίπων. Παρατηρήστε ότι διαφορετικές αρχικές συνθήκες καθορίζεται από το είδος και τον αριθμό των κυττάρων με ένεση (

exp

1,

exp

2

exp

3) και από το δείκτη στέλεχος που χρησιμοποιείται για την ποσοτικοποίηση CSC ποσοστό (Sca-1

+ ή CD44

+ /CD24

-). Οι καλύτερες παράμετροι προσαρμογής που υπολογίζεται για κάθε μία από αυτές τις αρχικές συνθήκες που αναφέρονται στον Πίνακα 1, ενώ το σχήμα 2 δεικνύει τα ληφθέντα ταιριάζει. Τα ίδια όγκο δεδομένων (δηλαδή εκείνες του σχήματος 1, πίνακας Α) έχουν τοποθετηθεί από το μοντέλο όταν είτε Sca-1

+ ή CD44

+ /CD24

– οι αναλογίες είχαν αναλάβει να συμπεράνουμε ποσοστό CSC εντός της μάζα του όγκου. Πιο συγκεκριμένα, ο όγκος δεδομένων που προκύπτουν από την ίδια την ένεση των κυττάρων (

exp

1,

exp

2

exp

3) χρησιμοποιήθηκαν δύο φορές: μία για κάθε δείκτη θεωρούνται. Συγκεκριμένα, στο Σχήμα 2, Πάνελ Α, Β, Γ δείχνουν το μοντέλο προσαρμογής καμπύλης για κάθε αρχική συγκέντρωση των κυττάρων, λαμβάνοντας υπόψη τις αναλογίες των κυττάρων υποπληθυσμός παρέκταση από Sca-1

+ δεδομένα? ενώ πάνελ δ, ε, στ δείχνουν το μοντέλο τοποθέτηση όταν οι κυτταρικές αναλογίες λαμβάνονται υπόψη CD44

+ /CD24

– κύτταρα. Όπως αναφέρθηκε από το Σχήμα 2, οι διάφορες καμπύλες τοποθέτηση ήταν ισοδύναμα από την άποψη της παραγόμενης σφάλματος. Ωστόσο, η δυναμική υποπληθυσμό άλλαξαν όταν διαφορετικές αναλογίες υποτεθεί, όπως φαίνεται από το σχήμα S2 για την έγχυση των 10

3 κύτταρα TUBO.

Κάθε πίνακας αναφέρει μια σύγκριση μεταξύ των πειραματικών όγκων (μονάδες) και το καλύτερο μοντέλο που ταιριάζει (γραμμές), λαμβάνοντας υπόψη μια συγκεκριμένη ένεση των κυττάρων (10

5 TUBO, 10

3 TUBO ή 10

3 P3) και μια σταθερή συγκέντρωση CSC (δίνεται από Sca-1

+ ή CD44

+ /CD24

– κύτταρα). Αναλυτικά: πάνελ (α), (β), (γ) χρησιμοποιούν Sca-1

+ αναλογίες και αντιστοιχούν σε 10

5 TUBO, 10

3 TUBO και 10

3 P3 ενέσεις κυττάρων, αντίστοιχα. Από την άλλη πλευρά, σε πίνακες (δ), (ε), (στ) αναφέρονται αποτελέσματα που ελήφθησαν από 10

5 TUBO, 10

3 TUBO και 10

3 Ρ3 ενέσεις κυττάρων, χρησιμοποιώντας κύτταρα αναλογίες ορίζεται από CD44

+ /CD24

– κύτταρα. Για κάθε οικόπεδο, παραμέτρων του μοντέλου είναι εκείνες που αναφέρονται στον Πίνακα 1.

Η

Πώς ΚΕΠ (μαθηματικά) να επηρεάσει την ανάπτυξη του όγκου

Χρονική εξέλιξη που προβλέπεται από το

απαραίτητη

μοντέλο ήταν αναλυτικά προσδιορίζεται μελετώντας eigensystem του. Συγκεκριμένα, στο Υλικό και Μέθοδοι και συμπληρωματικό υλικό έχουμε επισημάνει πως η σταθερή αύξηση () και ανταποκριτής ιδιοδιάνυσμα του () μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον προσδιορισμό του ρυθμού ανάπτυξης του συστήματος και την κατεύθυνση. Ρητή εκφράσεις των ιδιοδιανυσμάτων, καθώς και μια συζήτηση σχετικά με τα σημάδια τους (βλέπε Εικόνα S3), αναφέρονται σε συμπληρωματικό υλικό. Συνοψίζοντας, από τη μελέτη αυτή βρήκαμε ότι η σταθερότητα του συστήματος (2) ελέγχεται από το ιδιοδιάνυσμα.

Για βιολογικά χαρακτηρίζουν αυτό το αποτέλεσμα, έχουμε ορίσει τον ρυθμό αναπαραγωγής

R

0 των ΚΕΠ ως ρυθμό μεταβολής τους λόγω

ενδο μηχανισμούς

-CSC συν το ποσοστό των υπολογιστών

1 που υποβάλλονται σε de-διαφοροποίηση, δηλαδή. Επομένως, οι συνθήκες ισορροπίας μπορεί να εκφραστεί ως: (6) παρομοίως με επιδημιολογικές μελέτες [42]. Παρατηρήστε ότι το αποτέλεσμα αυτό είναι σύμφωνο με την τρέχουσα γνώση σχετικά με την κινητική των μοντέλων CSC με βάση τα οποία επισημαίνουν το ρόλο της CSC και PC

1 ως όγκου κινητήρια δύναμη [9], [12], [43], λαμβάνοντας επίσης υπόψη κυτταρικής μετανάστευσης όπως αναφέρεται στο [44], [45]. Πράγματι, Εξισώσεις (6) τονίζουν πως τρεις πιθανές όγκο σενάρια εξαρτάται μόνο από το ρυθμό αναπαραγωγής CSC, παρατηρώντας έτσι τον κεντρικό ρόλο των κυττάρων αυτών στην εξέλιξη του όγκου. Συγκεκριμένα: αν (i) είναι ικανοποιημένοι, το σύστημα κινείται προς εξαφάνιση (ασυμπτωτική ευστάθεια), δηλαδή δεν υπάρχει καμία εγκατάσταση όγκου? όταν (ii) εμφανίζεται όρο, το μοντέλο φθάνει σε μια σταθερή κατάσταση, δηλαδή όγκος μεγαλώνει μέχρι να σταθεροποιηθεί σε ένα πλάτωμα (ομοιόσταση των κυττάρων)? ενώ όταν (iii) πληρούνται, το σύστημα αυξάνεται εκθετικά, δηλαδή υπάρχει μια απεριόριστη ανάπτυξη του όγκου.